《反比例》数学教案

《反比例》数学教案

　　作为一名教职工，有必要进行细致的教案准备工作，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。我们应该怎么写教案呢？下面是小编收集整理的《反比例》数学教案，希望能够帮助到大家。

《反比例》数学教案1

　　教学内容：

　　《反比例的意义》是六年制小学数学（北师版）第十二册第二单元中的内容。是在学过“正比例的意义”的基础上，让学生理解反比例的意义，并会判断两个量是否成反比例关系，加深对比例的理解。

　　学生分析：

　　在此之前，他们学习了正比例的意义，对“相关联的量”、“成正比例的两个量的变化规律”、“如何判断两个量是否成正比例”已经有了认识，这为学习《反比例的意义》奠定了基础。

　　教学目标：

　　1、知识与技能目标：使学生认识成反比例的量，理解反比例的意义，并学会判断两种相关联的量是否成反比例。进一步培养学生观察、学析、综合和概括等能力。初步渗透函数思想。

　　2、过程与方法：为学生营造一个经历知识产生过程的情境。

　　3、情感与态度目标：使学生在自主探索与合作交流中体验成功的乐趣，进一步增强学好数学的信心。

　　教学重点：理解反比例的意义。

　　教学难点：两种相关联的量的变化规律。

　　教学准备：学生准备：复习正比例关系，预习本节内容。

　　教师准备：投影片3张，每张有例题一个。

　　教学过程设计：

　　一、谈话引入，激发兴趣。

　　1、谈话：通过最近一段时间的观察，我发现同学们越来越聪明了，会学数学了，这是因为同学们掌握了一定的数学学习的基本方法。下面请回想一下，我们是怎样学习成正比例的量的？这节课我们用同样的学习方法来研究比例的另外一个规律。

　　2、导入：在实际生活中，存在着许多相关联的量，这些相关联的量之间有的是成正比例关系，有的成其他形式的关系，让我们一起来探究下面的问题。

　　二、创设情景引新：

　　（出示：十二个小方块）

　　师：同学们，这十二个小方块有几种排法？

　　（生答后，老师板书下表的排列过程）

　　每行个数1234612

　　行数1264321

　　师：请你观察上表中每行个数与行数成正比例关系吗？为什么？

　　生：……

　　师：这两种量这间有关系吗？有什么关系？这就是我们今天要研究的内容。

　　（出示课题：反比例的意义）

　　三、合作自学探知

　　1、学习例4。

　　（1）出示例4。

　　师：请同学们在小组内互相交流，并围绕这三个问题进行讨论，再选出一位组员作代表进行汇报。

　　A、表中有哪两种量？

　　B、怎样随着每小时加工的数量变化？

　　c、每两个相对应的`数的乘积各是多少？

　　学生讨论……

　　生反馈：……

　　师：能不能举出三个例子

　　生：1020＝6002030＝6003020＝600……

　　师：这里的600是什么数量？你能说出这里的数量关系式吗？

　　生：……

　　［板书出示：每小时加工数加工时间=零件总数（一定）］

　　2、自学例5：

　　（1）出示例5：

　　师：先请同学们按要求在书上填空，并说说是怎样算的？根据什么？

　　生：……

　　师：模仿例4的方法，提出三个问题自己学习例5（出示三个问题）

　　生：……

　　3、讨论准备题：

　　（1）请你根据例4的方法，四人小组内说一说。

　　（2）请你举例说明表中每行个数与行数是什么关系？为什么？

　　四、比较感知特征

　　综合例4、例5、准备题的共同点师：比较一下例4、例5和准备题，请同学们在小组中讨论一下，互相说说这三个题目有什么共同的特征？

　　生：……

　　五、引导概括意义

　　1、概括反比例意义。

　　学生在说相同点时老师边引导边说明。当学生说出三个特征后，教师板书这三个特征。

　　师：请同学们根据我们上节课学的正比例的意义猜测一下，符合三个特征的二个量叫做成什么量？相互这间成什么关系？

　　生：……

　　师：请阅读课本第十六页，同桌互相说说怎样的两个量成反比例关系。

　　学生互相练习……

　　师：哪位同学来告诉大家，两种量如果成反比例必须符合哪三个条件？

　　生：……

　　师：例4、例5和准备题中的两种量成不成反比例？为什么？

　　生：……（学生回答后，老师及时纠正）

　　师：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，那么上面这种关系式可以怎样写呢？

　　生：……［板书出示y=k（一定）］

　　2、教学例6。

　　（1）课件出示例6。

　　（学生读题、思考）

　　师：怎样判断两种量成不成反比例？

　　师：哪位同学说说，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例？为什么？

　　生：因为每天播种的公顷数要用的天数＝播种的总公顷数（一定），所以每天播种的公顷数和要用的天数是成反比例的量。

　　六、小结：这节课同学们学到了哪些知识？运用了哪些学习方法？还有哪些不懂的问题？

　　[案例分析]：

　　通过联系生活实际，学习成反比例的量，体会数学与生活的紧密联系。不对研究的过程做详细的引导和说明，只提供研究的素材和数据，出示关键性的结论，充分发挥学生的主动性，以体现自主探究、合作交流的学习过程，获得学习成功的体验。通过引导学生观察、分析、比较、归纳，形成良好的思维习惯和思维品质。同时加深学生对数量关系的认识，渗透函数思想，为中学的数学学习做好知识准备。学习方式的转变是新课改的显著特征，就是把学习过程中的分析、发现、探究、创新等认识活动凸显出来。在设计《反比例的意义》时，根据学生的知识水平，对教学内容进行处理，克服教材的局限性，最大限度地拓宽探究学习的空间，提供自主学习的机会。

《反比例》数学教案2

　　教学任务分析

　　教学目标

　　知识技能

　　通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究，使学生能够从函数的观点来解决一些实际问题

　　数学思考

　　通过对实际问题中变量之间关系的分析，建立函数模型，运用已学过的反比例函数知识加以解决，体会数学建模思想和学以致用的数学理念

　　解决问题

　　分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步运用函数的图像、性质挖掘杠杆原理中蕴涵的道理

　　情感态度

　　利用函数探索古希腊科学家阿基米德发现的“杠杆定律”，使学生的求知欲望得到激发，再通过自己所学知识解决了身边的问题，大大提高了学生学习数学的兴趣

　　重点

　　运用反比例函数解释生活中的一些规律、解决一些实际问题

　　难点

　　把实际问题利用反比例函数转化为数学问题加以解决

　　教学流程安排

　　活动流程图

　　活动内容和目的

　　活动1创设情境，引出问题

　　活动2分析解决问题

　　活动3从函数的观点进一步分析规律

　　活动4巩固练习

　　活动5课堂小结、布置作业

　　教师提出生活中遇到的难题，请学生帮助解决，激发学生的兴趣

　　与学生共同分析实际问题中的变量关系，引导学生利用反比例函数解决问题

　　引导学生追寻杠杆原理中蕴涵的规律，从反比例函数的图象、性质等角度挖掘

　　通过课堂练习，提高学生运用反比例函数解决实际问题的能力

　　归纳、总结所学，体会利用函数的观点解决实际问题

　　教学过程设计

　　问题与情境

　　师生行为

　　设计意图

　　活动1

　　如何打开这个未开封的奶粉桶呢？—

　　教师提出实际生活中的问题，学生提出解决办法，教师引出利用杠杆原理解决问题。

　　能否从数学角度探索杠杆原理中蕴涵的变量关系呢？

　　让学生了解到日常生活中存在着许多两个量之间具有反比例关系的`例子，自然引入课题

　　活动2

　　展示问题1：

　　几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200牛顿和0.5米，设动力为F，动力臂为。回答下列问题：

　　（1）动力F与动力臂有怎样的函数关系？

　　（2）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂为为1米、1.5米、2米、3米的撬棍，你能得出他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？从上述的运算中我们观察出什么规律？

　　不妨列表描点画出图象

　　（图象在第三象限会有吗？）

　　分析问题中变量间的关系

　　分析动力F与动力臂的关系，将撬石头的实际问题转化为反比例函数问题。由抽象到具体，验证几个具体的数值通过验证几个数值，进行列表描点，作出图象观察规律，，进一步从图象的变化趋势上解释规律

　　在数学课上引用一个物理力学的实际问题，一下子抓住了学生的猎奇心理，激发了他们的学习兴趣；最后落实到运用数学来解决，学生可以体会到数学的基础性和重要性，激发学生求知的热情

　　教师按照学生的认知规律有层次、有步骤地引导学生分析解决问题

　　活动3

　　从函数的观点进一步分析规律

　　（3）用反比例函数的性质解释：开启桶盖时用长的改锥还是短的改锥？在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？问题

　　（4）受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为1.2米的撬棍，用了500牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有300牛顿的力量，他该选择动力臂为多少的撬棍才能撬动这块大石头呢？

　　（5）地球重量的近似值为（即为阻力），假设阿基米德有500牛顿的力量，阻力臂为20xx千米，请你帮助阿基米德设计该用动力臂为多长的杠杆才能把地球撬动？利用反比例函数的变化规律解释实际生活中一些问题深入挖掘动力臂与动力F又有怎样的函数关系呢？待定系数法解决函数问题公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：

　　阻力阻力臂=动力动力臂，他形象地说，“给我一个支点我可以把地球撬动”

　　从函数的角度深层次挖掘变量间的关系，在这一过程中学生逐渐建立运用运动变化的观点解释一些现象，实现从静到动的转变举一反三，函数模型未变，但两个量的角色发生变化，深入探究，体会其中的变与不变的函数思想激发学生学习兴趣，培养科学探索精神

　　活动4

　　展示练习

　　市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为米，某运输公司承办了该项工程运送土方的任务。

　　（1）运输公司平均每天的工作量（单位：米3/天）与完成运送任务所需的时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？

　　（２）这个运输公司有１００辆卡车，每天一共可运送土石方立方米，则公司完成全部运输任务需要多长时间？

　　（３）当公司以问题（２）中的速度工作了４０天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在５０天内完成，公司至少需要再增加多少辆卡车才能按时完成任务？教师展示练习，学生认真审题、思考学生认真审题后自主探究学生建立了反比例函数关系后求值学生相互讨论，协作解决问题（3），请学生代表汇报他们讨论的结果，教师作适时、适当的引导和指导

　　提醒学生：应把较复杂的问题分解，将难点逐一击破，从不同的角度利用不同的方法解决问题

　　通过巩固练习，让学生进一步加深对反比例函数的运用和理解，更深层次体会建立反比例模型解决实际问题的思想，巩固和提高所学知识

　　给学生足够的时间和空间，给他们创造展示他们能力和所学知识的机会可从不同角度入手，培养学生从多角度审视、解决问题的能力

　　活动6

　　归纳、总结

　　作业：教科书习题17.2第6题

　　教师引导学生回忆、总结，教师予以补充

　　通过小结，使学生把所学知识进一步内化、系统化

《反比例》数学教案3

　　从容说课

　　我们学习知识的目的就是为了应用，如能把书本上学到的知识运用到实际生活中，这就说明确实把知识学好了，会用了

　　用函数观点处理实际问题的关键在于分析实际情境、建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，教学时应注意分析的过程，即将实际问题置于已有知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以看成什么?让学生逐步学会用数学的眼光考查实际问题.同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想

　　此外，解决实际问题时.还要引导学生体会知识之间的联系以及知识的综合运用

　　教学目标

　　(一)教学知识点

　　1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程

　　2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力

　　(二)能力训练要求

　　通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力

　　(三)情感与价值观要求

　　经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题。理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用

　　教学重点

　　用反比例函数的知识解决实际问题

　　教学难点

　　如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题

　　教学方法

　　教师引导学生探索法

　　教学过程

　　Ⅰ.创设问题情境，引入新课

　　[师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢？

　　[生]是为了应用

　　[师]很好；学习的`目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢？本节课我们就来学一学

　　Ⅱ. 新课讲解

　　某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务；你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么

　　(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？

　　(2)当木板画积为 0.2 m2时.压强是多少？

　　(3)如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大？

　　(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象

　　(5)清利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流

　　[师]分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是则可用反比例函数的有关知识去解决问题

　　请大家互相交流后回答

　　[生](1)由p=得p=

　　p是S的反比例函数，因为给定一个S的值.对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数

　　(2)当S= 0.2 m2时， p==3000(Pa)

　　当木板面积为 0.2m2时，压强是3000Pa.

　　(3)当p=6000 Pa时，

　　S==0.1(m2)

　　如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要 0.1 m2

　　(4)图象如下：

　　(5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围

　　[师]这位同学回答的很好，下面我要提一个问题，大家知道反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，要么位于第二、四象限，从(1)中已知p＝>0，所以图象应位于第一、三象限，为什么这位同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢？

　　[生]第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，S不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在

　　[师]很好，那么在(1)中是不是应该有条件限制呢？

　　[生]是，应为p＝ (S>0).

　　做一做

　　1、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如下图；

　　(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗？

　　(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？

　　[师]从图形上来看，I和R之间可能是反比例函数关系.电压U就相当于反比例函数中的k.要写出函数的表达式，实际上就是确定k(U)，只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，填表实际上是已知自变量求函数值.

　　[生]解：(1)由题意设函数表达式为I＝

　　∵A(9，4)在图象上，

　　∴U＝IR＝36

　　∴表达式为I=

　　蓄电池的电压是36伏

　　(2)表格中从左到右依次是：12，9，7.2，6，4.5，3.6

　　电源不超过 10 A，即I最大为 10 A，代入关系式中得R＝3.6，为最小电阻，所以用电器的可变电阻应控制在R≥3.6这个范围内

　　2、如下图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(,2)

　　(1)分别写出这两个函数的表达式：

　　(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的?与同伴进行交流

　　[师]要求这两个函数的表达式，只要把A点的坐标代入即可求出k1，k2，求点B的

　　坐标即求y＝k1x与y=的交点

　　[生]解：(1)∵A(,2)既在y＝k1x图象上，又在y＝的图象上

　　∴k1＝2，2＝

　　∴k1=2,k2=6

　　∴表达式分别为y＝2x,y＝

　　∴x2=3

　　∴x=±

　　当x= ?时，y= ?2

　　∴B(?，?2)

　　Ⅲ.课堂练习

　　1.某蓄水池的排水管每时排水 8 m3，6 h可将满池水全部排空

　　(1)蓄水池的容积是多少？

　　(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化？

　　(3)写出t与Q之间的关系式；

　　(4)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？

　　(5)已知排水管的最大排水量为每时 12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空？

　　解：(1)8×6＝48(m3)

　　所以蓄水池的容积是 48 m3

　　(2)因为增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，所以将满池水排空所需的时间t(h)将减少.

　　(3)t与Q之间的关系式为t=

　　(4)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为=9.6(m3)

　　(5)已知排水管的最大排水量为每时 12m3，那么最少要＝4小时可将满池水全部排空.

　　Ⅳ、课时小结

　　节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题.

　　Ⅴ课后作业

　　习题5.4.

　　板书设计

　　§ 5.3反比例函数的应用

　　一、1.例题讲解

　　2.做一做

　　二、课堂练习

　　三、课时小节

　　四、课后作业(习题5.4)

《反比例》数学教案4

　　学习目标

　　结合丰富的实例，认识反比例。能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例。利用反比例解决一些简单的生活问题，感受反比例关系在生活中的广泛应用。

　　学习重点

　　认识反比例，能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是成反比例。

　　过程与方法

　　教师活动

　　一、复习

　　1、什么是正比例的量？

　　2、判断下面各题中的两种量是否成正比例？为什么？

　　（1）工作效率一定，工作时间和工作总量。

　　（2）每头奶牛的产奶量一定，奶牛的头数和产奶总量。

　　（3）正方形的边长和它的面积。

　　二、导入新课

　　利用反义词来导入今天研究的课题。今天研究两种量成反比例关系的变化规律。

　　三、进行新课

　　情境（一）

　　认识加法表中和是12的直线及乘法表中积是12的曲线。

　　情境（二）

　　让学生把汽车行驶的速度和时间的表填完整，当速度发生变化时，时间怎样变化？每两个相对应的数的乘积各是多少？你有什么发现？独立观察，思考

　　同桌交流，用自己的语言表达写出关系式：速度×时间=路程（一定）观察思考并用自己的`语言描述变化关系乘积（路程）一定

　　情境（三）

　　把杯数和每杯果汁量的表填完整，当杯数发生变化时，每杯果汁量怎样变化？每两个相对应的数的乘积各是多少？化关系

　　写出关系式：每杯果汁量×杯数=果汗总量（一定）

　　5、以上两个情境中有什么共同点？

　　反比例意义

　　引导小结：

　　活动四：想一想

　　P26页第1、2、3题

　　关系式：X×Y=K（一定）

　　课后反思：

　　学生活动

　　学生自由回答，相互补充。

　　学生观察，弄清题意。

　　引导学生发现规律：加法表中和是12，一个加数随另一个加数的变化而变化；乘法表中积是12，一个乘数随另一个乘数的变化而变化。

　　独立观察，思考同桌交流，用自己的语言表达写出关系式：速度×时间=路程（一定）观察思考并用自己的语言描述变化关系乘积（路程）一定。

　　你有什么发现？用自己的语言描述变

　　都有两种相关联通的量，其中一种量变化，另一种量也随着变化，并且这

　　两种量中相对应的两个数的乘积是一定的。这两种量之间是反比例关系。

　　板书设计

　　教学反思

《反比例》数学教案5

　　教学目标：

　　1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式;

　　2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质;

　　3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想;

　　4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程;

　　5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.

　　教学重点：

　　结合图象分析总结出反比例函数的性质;

　　教学难点：描点画出反比例函数的图象

　　教学用具：直尺

　　教学方法：小组合作、探究式

　　教学过程：

　　1、从实际引出反比例函数的概念

　　我们在小学学过反比例关系.例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比例

　　即vt=S(S是常数);

　　当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S(S是常数)

　　从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：

　　(S是常数)

　　(S是常数)

　　一般地，函数 (k是常数， )叫做反比例函数.

　　如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数.当矩形面积S是常数时，长a是宽b的反比例函数.

　　在现实生活中，也有许多反比例关系的例子.可以组织学生进行讨论.下面的例子仅供

　　2、列表、描点画出反比例函数的图象

　　例1、画出反比例函数 与 的图象

　　解：列表

　　说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图

　　一般地反比例函数 (k是常数， )的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.

　　3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的`性质

　　前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习.

　　显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢?并能从解析式或列表中得到论证.(下列答案仅供参考)

　　(1) 的图象在第一、三象限.可以扩展到k 0时的情形，即k0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.

　　的讨论与此类似.

　　抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.

　　(2)函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小;

　　从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小;若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k0时，函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.

　　同样可以推出 的图象的性质.

　　(3)函数 的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出， .如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零;如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出 图象的性质.

　　函数 的图象性质的讨论与次类似.

　　4、小结：

　　本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.

　　5、布置作业 习题13.8 1-4

《反比例》数学教案6

　　教学内容：教材第115页正、反比例的意义和正、反比例应用题、“练一练”，练习二十二第1、2题。

　　教学要求：

　　1、使学生更清楚地认识正比例和反比例关系的特征，能正确判断成正比例关系或反比例关系的量。

　　2、使学生进一步掌握正比例和反比例应用题的数量关系、解题思路，能正确地解答成正、反比例关系的应用题，进一步培养学生分析、推理和判断等思维能力。

　　教学过程：

　一、揭示课题

　　这节课，复习正、反比例关系和正、反比例应用题。通过复习，要进一步认识正、反比例的意义，掌握正、反比例应用题的数量关系、解题思路和解题方法，能更正确地判断成正、反比例关系的量，正确地解答正、反比例应用题。

　　二、复习正、反比例的意义。

　　1、复习正、反比例的意义。

　　提问：如果用x和y表示成比例关系的两种相关联的量，那么，什么情况下成正比例关系，什么情况下成反比例关系？

　　想一想，成正比例关系和成反比例关系的两种量有什么相同点和不同点？

　　指出：正比例关系和反比例关系的相同点是：都有相关联的两种量，一种量随着另一种量的变化而变化。不同点是：成正比例关系的两种量中相对应数值的比值一定，成反比例关系的两种量中相对应数值的积一定。

　　2、判断正、反比例关系。

　　（1）做“练一练”第1题。

　　指名学生口答。

　　提问：判断是不是成比例和成什么比例的根据是什么？

　　（2）做练习二十二第1题。

　　指名学生口答。

　　3、判断x和y这两种量成什么关系，为什么？

　　指出：我们根据正、反比例关系的特点，可以判断两种相关联的'量成什么比例。如果一道题里两种量成正比例或反比例关系，我们就可以应用比例的知识，根据比值相等或者积相等的数量关系来解答。

　　三、复习正、反比例应用题。

　　1、做“练一练”第2题第1题。

　　让学生读题，判断两种量成什么比例。

　　提问：这道题成正比例关系，要根据什么相等来列式解答？

　　指名一人板演，其余学生做在练习本上。

　　集体订正，突出列式的等量关系是比值一定。

　　2、做“练一练”第2题第（2）题。

　　指名一人板演，其余学生做在练习本上。

　　集体订正。

　　提问：这道题是怎样想的？成反比例关系的应用题，要根据什么来列式解答？

　　3、启发学生思考：

　　你认为正比例应用题实际上是我们过去学过的哪一类应用题？反比例应用题是哪一类应用题？

　　怎样解答正、反比例应用题？

　　指出：用比例知识解答应用题，要先判断两种相关联的量成什么比例。如果成正比例，根据比值相等列等式解答；如果成反比例，根据积相等列等式解答。

　　四、课堂作业

　　练习二十二第2题

《反比例》数学教案7

　　教学目标

　　1.理解反比例的意义。

　　2.能根据反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。

　　3.培养学生的抽象概括能力和判断推理能力。

　　教学重点

　　引导学生理解反比例的意义。

　　教学难点

　　利用反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。

　　教学过程

　　一、复习准备（演示课件：成反比例的量）

　　1.下表中的两种量是不是成正比例？为什么？

　　购买练习的本数（本）

　　1

　　2

　　4

　　6

　　9

　　总价（元）

　　0.80

　　1.60

　　3.20

　　4.80

　　7.20

　　2.回忆：成正比例的量有什么特征？

　　二、新授教学

　　（一）引入新课

　　我们已经学习了常见数量关系中成正比例关系的量的特征。这节课我们继续研究常见的数量关系中的另外一种特征成反比例的量。

　　教师板书：成反比例的量

　　（二）教学例4（演示课件：成反比例的量）

　　1.出示例4，提出观察思考要求：

　　从表中你发现了什么？这个表同复习的表相比，有什么不同？

　　（1）表中的两种量是每小时加工的数量和所需的加工时间。

　　教师板书：每小时加工数和加工时间

　　（2）每小时加工的数量扩大，所需的加工时间反而缩小；每小时加工的数量缩小，所需的加工时间反而扩大。

　　教师追问：这是两种相关联的量吗？为什么？

　　（3）每两个相对应的数的乘积都是600.

　　2.这个600实际上就是什么？每小时加工数、加工时间和零件总数，怎样用式子表示它们之间的关系？

　　教师板书：零件总数

　　每小时加工数加工时间＝零件总数

　　3.小结

　　通过刚才的研究，我们知道，每小时加工数和加工时间是两种相关联的量，每小时加工数变化，加工时间也随着变化，每小时加工数乘以加工时间等于零件总数，这里的零件总数是一定的。

　　（三）教学例5（演示课件：成反比例的量）

　　1.出示例5，根据题意，学生口述填表。

　　2.教师提问：

　　（1）表中有哪两种量？是相关联的量吗？

　　教师板书：每本张数和装订本数

　　（2）装订的本数是怎样随着每本的张数变化的？

　　（3）表中的两种量有什么变化规律？

　　（四）比较例4和例5，概括反比例的意义。

　　1.请你比较例4和例5，它们有什么相同点？

　　（1）都有两种相关联的量。

　　（2）都是一种量变化，另一种量也随着变化。

　　（3）都是两种量中相对应的.两个数的积一定。

　　2.教师小结

　　像这样的两种量，我们就把它们叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

　　3.如果用字母 和 表示两种相关联的量，用 表示它们的积一定，反比例关系可以用一个什么样的式子表示？

　　教师板书：＝ （一定）

　　（五）教学例6（演示课件：成反比例的量）

　　1.出示例6，教师提问：

　　（1）每天播种的公顷数和要用的天数是不是相关联的量？

　　（2）每天播种的公顷数和要用的天数有什么关系？它们的积是什么？这个积一定吗？

　　（3）播种总公顷数一定，每天播种公顷数和要用的天数成反比例吗？为什么？

　　2.思考：播种的总公顷数一定，已经播种的公顷数和剩下的公顷数是不是成反比例？

　　三、课堂小结

　　这节课我们学习了成反比例的量，知道了什么样的两种量是成反比例的量，也学会了怎样判断两种量是不是成反比例。在判断时，同学们要按照反比例的意义，认真分析，做出正确的判断。

　　四、课堂练习

　　（一）判断下面每题中的两个量是不是成反比例，并说明理由。

　　1.路程一定，速度和时间。

　　2.小明从家到学校，每分走的速度和所需时间。

　　3.平行四边形面积一定，底和高。

　　4.小林做10道数学题，已做的题和没有做的题。

　　5.小明拿一些钱买铅笔，单价和购买的数量。

　　（二）你能举一个反比例的例子吗？

　　五、课后作业

　　判断下面每题中的两种量是不是成反比例，并说明理由。

　　1.煤的总量一定，每天的烧煤量和能够烧的天数。

　　2.种子的总量一定，每公顷的播种量和播种的公顷数。

　　3.李叔叔从家到工厂，骑自行车的速度和所需的时间。

　　4.华容做12道数学题，做完的题和没有做的题。

　　5.生产电视机的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数。

　　6.长方形的面积一定，它的长和宽。

　　7.小林拿一些钱买练习本，单价和购买的数量。

　　六、板书设计

　　成反比例的量

　　例4.每小时加工数加工时间＝零件总数（一定）

　　例5.每本页数装订本数＝纸的总页数（一定）

　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。

　　＝ （一定）

　　例6.因为：每天播种的公顷数天数＝播种的总公顷数（一定）

　　所以：每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。

《反比例》数学教案8

　　一、教学内容

　　本单元在常见数量关系的基础上编排，教学正比例关系和反比例关系。与过去的《大纲》教材相比，本单元加强对正比例和反比例的理解，重视对正比例关系图像的认识与简单应用，不利用正比例、反比例解答应用题。

　　全单元编排3道例题、一个练习，教学内容分成两段。

　　例1、例2，正比例的意义、正比例的图像；

　　例3，反比例的意义。

　　二、教学注意点：

　　1.细致安排学生的首次感知。

　　正比例概念和反比例概念都要在充分的感知活动中形成，例1和例3分别是学生首次感知正比例关系与反比例关系，教材作了很细致的安排。例1把感知过程设计成四步。

　　路程

　　时间

　　写比、求比值、解释比值。例1呈现的表格里是一辆汽车行驶的时间和路程的数据，让学生从中选择几组相对应的路程和时间，分别写出比并求出比值，发现所有比的比值都是80，体会这个比值是汽车行驶的速度，这辆汽车的行驶速度始终不变。

　　用数量关系式表示比值一定。写出的各个比的数量关系相同，可以用式子“　　　　＝速度（一定）”表示它们的共同特征。学生对“路程比时间等于速度”很熟悉，而“速度（一定）”是例1数量关系的特点，首次感知正比例关系的要点就在这里。

　　体会相关联的量。正比例是两个相关联量的关系，教材指出路程和时间是两种相关联的量。说它们“相关联”，是因为时间变化，路程也随着变化。

　　揭示正比例意义。在前三步感知活动的基础上，告诉学生：当路程和相应的时间的比值总是一定时，就说行驶的路程和时间成正比例，行驶的路程和时间叫做成正比例的量。

　　例3首次感知反比例关系，也分四步进行。依次是：观察表格里的数据，笔记本的单价变化，购买的数量也变化，但总价始终不变；用数量关系式表示积一定；理解相关联的量；揭示反比例意义。

　　2.变换情境，让学生反复感知。

　　仅有例题的首次感知还不能形成正比例、反比例的概念，需要反复感知，积累充分的感性认识。P62“试一试”、练习十三第1题再次感知正比例关系，P65“试一试”、练习十三第6题再次感知反比例关系。

　　选择与例题不同的数量。P62“试一试”里购买铅笔的数量与总价是相关联的量，它们的比值（单价）保持不变。练习十三第1题里碾米机的工作时间与碾米数量是相关联的量，它们的比值（工作效率）保持不变。学生在感知正比例关系的同时，体会这种关系是生活中常见的。

　　提出问题，引导有序地思考。“试一试”和练习题分别设计四个和三个连续的问题，引导学生有条理地思考，独立、主动经历感知过程。

　　重温发现正比例关系的方法。几个连续问题里的`学习活动依次是：找到相关联的两种量→写出几组对应数量的比并求比值→比较比值的大小，解释比值的意义→用数量关系式表达比值一定→作出成正比例的结论。这些活动与例题保持一致，重温了认识正比例关系的过程，为判断两种量成不成正比例打下了基础。

　　3.建立正比例、反比例的概念。

　　本单元教学要形成正比例和反比例的概念。概念是一类现象共同的本质特征的反映，形成概念要对感性认识进行抽象与概括。

　　提取共同特征。各个成正比例的实例中都有两个相关联的量，两种量相对应的数的比值总是一定的。各个成反比例的实例里也有两种相关联的量，它们相对应的数的积是一定的。这些分别是正比例、反比例的本质特征，建立概念，要把这些共同特征提取出来。

　　用字母表示关系与特征。用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值或者表示它们的积，用字母组成的式子表示正比例和反比例关系，是认识的一次抽象，概念在抽象中形成。

　　4.应用概念，判断比例关系。

　　形成概念是为了更好地认识和把握客观世界，在现实生活中应用概念识别、判断和推理。正比例和反比例是常见的数量关系，判断比例关系还能初步体验函数思想，发展数学思考。

　　判断具体问题里的正比例、反比例。第63页“练一练”、第65页“练一练”分别判断两种量成不成正比例或反比例，并说出理由。要根据正、反比例的意义，利用表格里的数据，按照例题和“试一试”的方法与步骤进行思考。通过判断，进一步理解正比例、反比例的意义。练习十三第2、7两题也作出类似的安排。能够在具体问题里进行判断，是本单元的基本要求。

　　利用反例加强概念。第66页第3题通过画图、计算和填表，理解正方形面积与边长不成正比例。第68页第8题通过看图、填表，理解长方形周长一定，长和宽不成反比例。这些都是在具体问题里作出的判断，能使学生深刻体会正比例、反比例的特征，从而加强概念。

　　初步进行稍抽象的判断。第70页第12题没有提供具体的数据，判断两种量是不是成正比例或反比例，是较高的要求。虽然思维比较抽象，也要按照判断正比例、反比例的一般程序，先找到相关联的量，研究两个量是不是比值一定或者积一定，然后作出结论。其中的（2），一个人的年龄与体重不能看作相关联的量，而且它们的比或乘积都没有实际意义，更谈不上比值一定或积一定，因而既不成正比例，也不成反比例。

　　5.认识并简单应用正比例的图像。

　　正比例图像是一条射线（中学里是一条直线），反比例图像是曲线（中学里是双曲线）。本单元只教学正比例的图像，不教学反比例的图像。

　　正比例图像的教学要求有两点，一是联系画折线统计图的经验，在方格纸上描出表示各组对应数量的点，知道所描的点在同一条直线上。二是已知一组相对应的数量中的一个数量，在图像上估计另一个数量是多少。

《反比例》数学教案9

　　教学目的：通过混合练习，加深学生对正比例和反比例的意义的理解，提高判断能力。

　　教学过程：

　　一、引入

　　教师：前面我们学习了正比例和反比例的意义．上节课我们又把它们进行了比较，你们会根据正比例和反比例的意义，比较熟练地判断两种相关联的`量是成正比例还是成反比例吗?

　　二、课堂练习

　　1．分析、研究第3题。

　　让学生先说出长方形的长、宽、面积三个量中．其中一个量与另外两个量的关系，教师板书出来：长宽＝面积

　　= 长 =宽

　　提问：

　　当面积一定时，长和宽成什么比例关系?

　　当长一定时，面积和宽成什么比例关系?

　　当宽一定时，面积和长成什么比例关系?

　　教师：通过上面的分析，我们知道：要判断三种相关联的量在什么条件下组成哪种比例关系，我们可以先写出它们中的一种量与另外两种量的关系，再进行分析，。

　　2．第4题，让学生仿照第3题的方法做。订正后，教师板书如下：

　　每次运货吨数运货次数＝运货的总吨数(一定) 每次运货吨数 与运货次数 =运货次数（一定） 成反比例关 系。

　　运货的总吨 =每次运货吨数（一定） 数与运货次 数成正比例 关系

　　3．第5题，让学生独立做，教师巡视，注意个别辅导。

　　4．第6题，先让学生自己判断，然后指名回答，第(1)小题成反比例，第(2)、(4)、(6)小题成正比例，第(3)、(5)小题不成比例。

　　5．第7题，学生独立解答后，选一题说说是怎样解的。

　　6．学有余力的学生做第8题。

《反比例》数学教案10

　　教学目标：

　　在巩固正反比例的意义和正方比例的判断方法上，通过比较观察，理解并掌握正、反比例的意义和判断方法的差异，明确在同一组数量关系中，什么量一定时，另外两种量成正比例关系；什么量一定时，另外两种量成反比例关系，并能正确地判断。

　　教学重点、难点：

　　区分正反比例的差异

　　教学过程：

　　一、复习

　　1、前面一段时间我们学习哪两种比例关系？说说你的理解！

　　板书：正比例、反比例（学生回顾正反比例）

　　2、出示小黑板：

　　表一、

　　总价（元）

　　8

　　16

　　40

　　80

　　160

　　数量（件）

　　1

　　2

　　5

　　10

　　20

　　（ ）和（）是两种相关联的量，（）随着（）而变化，（）一定。所以（）和（）成（）关系。

　　表二、

　　单价（元）

　　80

　　40

　　20

　　10

　　5

　　数量（件）

　　1

　　2

　　4

　　8

　　16

　　让学生先完成表一的问题，在让学生如同表一的问题完成表二，书写在作业作上，请两名学生说一说。

　　3、想一想：单价、数量、总价这三种量、每两种之间存在怎么样的比例关系？它们的条件是什么？

　　二、总结问题、比较正反比例

　　1、

　　单价一定，数量和总价成正比例关系。

　　数量一定，单价和总价成正比例关系。

　　总价一定、单价和数量呈反比例关系。

　　小练笔：请学生举几个数量关系说一说，同桌交流，汇报

　　2、正反比例比较

　　观察表一和表二以及正反比例的知识，比较正反比例

　　正比例

　　反比例

　　相同点

　　两种相关联的量

　　不同点

　　变化方向一致

　　两种量相对应的两个数的比值一定

　　变化方向相反

　　两种量相对应的两个数的乘积一定

　　三、巩固练习

　　练一练1、2、3

　　4、A、B、C三种量的关系是：

　　如果A一定，那么B和C成（）比例；

　　如果B一定，那么A和C成（）比例；

　　如果C一定，那么A和B成（）比例。

　　在此基础上拓展：

　　1、，那么和成（）关系；

　　2、，那么和成（）关系；

　　3、，那么和成（）关系；

　　判断：

　　（1），圆周率一定，圆的周长和相应的直径成正比例；

　　（2），圆的直径一定，圆周率和相应的周长成正比例；

　　（3），圆的周长一定，圆周率和相应的直径成反比例；

　　练一练5、判断成不成比例？成什么比例？

　　四、小结

　　正反比例的区别与判断

　　课后反思：

　　本堂课是在学生学习了正比例和反比例的基础上进行的一堂正反比例的比较的综合课，整堂课主要是让学生通过一定的练习比较观察使得学生自主的归纳出正反比例的异同，使得学生能够更好的明确正反比例的意义和判断。因此整堂课学生的参与的积极性比较高，基本上的学生都能够参与到课堂的教学中来。

　　在整个备课过程中，根据教学内容的要求，载客后的练习中补充了带有未知数的三道练习让学生判断成不成比例，成什么比例，提高学生对数学的积极性和杰却问题的'能力。与此同时还安排了一个判断题，由于前面都遇到有一个数量关系可以得出一种量一定，另外两种量的比例关系，可是这个问题就存在有这样的问题，因为圆周率是一定的，通过这个题的练习使得学生更好的理解正反比例的条件，两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化。

　　再602班上课的时候，在出示小黑板的时候，没有先让学生回顾正反比例的知识，学生的课堂注意力没有及时地吸引过来，于是在第二堂课的时候，求安排了这样一个环节，让学生回顾知识，并吸引学生注意。还有就是表意于表二的利用，在第二堂课上比第一堂提高了，消除了学生再次整理信息所消耗的时间，提高了课堂效率。

《反比例》数学教案11

　　教学目标：

　　1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；

　　2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；

　　3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；

　　4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；

　　5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力。

　　教学重点：

　　结合图象分析总结出反比例函数的性质；

　　教学难点：描点画出反比例函数的图象

　　教学用具：直尺

　　教学方法：小组合作、探究式

　　教学过程：

　　1、从实际引出反比例函数的概念

　　我们在小学学过反比例关系。例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比例

　　即vt=S（S是常数）；

　　当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S（S是常数）

　　从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：

　　（S是常数）

　　（S是常数）

　　一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数。

　　如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数。当矩形面积S是常数时，长a是宽b的反比例函数。

　　在现实生活中，也有许多反比例关系的例子。可以组织学生进行讨论。下面的例子仅供

　　2、列表、描点画出反比例函数的图象

　　例1、画出反比例函数与的图象

　　解：列表

　　说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象。取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图

　　一般地反比例函数（k是常数，）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。

　　3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质

　　前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习。

　　显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证。（下列答案仅供参考）

　　（1）的图象在第一、三象限。可以扩展到k 0时的情形，即k0时，双曲线两支各在第一和第三象限。从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限。

　　的讨论与此类似。

　　抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法。体现了由特殊到一般的研究过程。

　　（2）函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小；

　　从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势。从列表中也可以看出这样的变化趋势。有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小。由此可归纳出，当k0时，函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小。

　　同样可以推出的图象的性质。

　　（3）函数的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交。从解析式中也可以看出，。如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的'值也越来越趋近于零。因此，呈现的是双曲线的样子。同理，抽象出图象的性质。

　　函数的图象性质的讨论与次类似。

　　4、小结：

　　本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质。大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识。数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释。即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中。

　　5、布置作业习题13.8 1-4

《反比例》数学教案12

　　三维目标

　　一、知识与技能

　　1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．

　　2．能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题．

　　二、过程与方法

　　1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．

　　2． 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．

　　三、情感态度与价值观

　　1．积极参与交流，并积极发表意见．

　　2．体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．

　　教学重点

　　掌握从物理问题中建构反比例函数模型．

　　教学难点

　　从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．

　　教具准备

　　多媒体课件．

　　教学过程

　　一、创设问题情境，引入新课

　　活动1

　　问 属：在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用．下面的例子就是其中之一．

　　在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．

　　(1)求I与R之间的函数关系式；

　　(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．

　　设计意图：

　　运用反比例函数解决物理学中的一些相关问题，提高各学科相互之间的综合应用能力．

　　师生行为：

　　可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用．

　　教师应给“学困生”一点物理学知识的引导．

　　师：从题目中提供的信息看变量I与R之间的反比例函数关系，可设出其表达式，再由已知条件(I与R的一对对应值)得到字母系数k的值．

　　生：(1)解：设I＝kR ∵R＝5，I＝2，于是

　　2＝k5 ，所以k＝10，∴I＝10R ．

　　(2) 当I＝0.5时，R＝10I＝100.5 ＝20(欧姆)．

　　师：很好!“给我一个支点，我可以把地球撬动．”这是哪一位科学家的.名言?这里蕴涵着什么 样的原理呢?

　　生：这是古希腊科学家阿基米德的名言．

　　师：是的．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”： 若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为；

　　阻力×阻力臂＝动力×动力臂(如下图)

　　下面我们就来看一例子．

　　二、讲授新课

　　活动2

　　小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0．5米．

　　(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力?

　　(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?

　　设计意图：

　　物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系．因此，在这儿又一次借助反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用．

　　师生行为：

　　先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题．

　　教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系．

　　教师在此活动中应重点关注：

　　①学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；

　　②学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；

　　③学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣．

　　师：“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”，因此可用“杠杆定律”来解决此问题．

　　生：解：(1)根据“杠杆定律” 有

　　Fl＝1200×0.5．得F ＝600l

　　当l＝1.5时，F＝6001.5 ＝400．

　　因此，撬动石头至少需要400牛顿的力．

　　(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有

　　Fl＝600，

　　l＝600F ．

　　当F＝400×12 ＝200时，

　　l＝600200 ＝3．

　　3－1.5＝1.5(米)

　　因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要如长1.5米．

　　生：也可用不等式来解，如下：

　　Fl＝600，F＝600l ．

　　而F≤400×12 ＝200时．

　　600l ≤200

　　l≥3．

　　所以l－1.5≥3－1.5＝1.5．

　　即若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米．

　　生：还可由函数图象，利用反比例函数的性质求出．

　　师：很棒!请同学们下去亲自画出图象完成，现在请同学们思考下列问题：

　　用反比例函数的知识解释：在我们使用橇棍时，为什么动力臂越长越省力?

　　生：因为阻力和阻力臂不变，设动力臂为l，动力为F，阻力×阻力臂＝k(常数且k＞0)，所以根据“杠杆定理”得Fl＝k，即F＝kl (k为常数且k＞0)

　　根据反比例函数的性质，当k＞O时，在第一象限F随l的增大而减小，即动力臂越长越省力．

　　师：其实反比例函数在实际运用中非常广泛．例如在解决经济预算问题中的应用．

　　活动3

　　问题：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0．4)元成反比例．又当x＝0．65元时，y＝0.8．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?

　　设计意图：

　　在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题．

　　师生行为：

　　由学生先独立思考，然后小组内讨论完成．

　　教师应给予“学困生”以一定的帮助．

　　生：解：(1)∵y与x －0．4成反比例，

　　∴设y＝kx－0.4 (k≠0)．

　　把x＝0.65，y＝0.8代入y＝kx－0.4 ，得

　　k0.65－0.4 ＝0.8．

　　解得k＝0.2，

　　∴y＝0.2x－0.4＝15x－2

　　∴y与x之间的函数关系为y＝15x－2

　　(2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为

　　(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3(1＋15x－2 )＝0.3(1＋10.6×5－2 )＝0.3×2＝0.6(亿元)

　　答：本年度的纯收人为0.6亿元，

　　师生共析：

　　(1)由题目提供的信息知y与(x－0.4)之间是反比例函数关系，把x－0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x＝0.65时，y＝0.8得出字母系数的值；

　　(2)纯收入＝总收入－总成本．

　　三、巩固提高

　　活动4

　　一定质量的二氧化碳气体，其体积y(m3)是密度ρ(kg／m3)的反比例函数，请根据下图中的已知条件求出当密度ρ＝1.1 kg／m3时二氧化碳气体的体积V的值．

　　设计意图：

　　进一步体现物理和反比例函数的关系．

　　师生行为

　　由学生独立完成，教师讲评．

　　师：若要求出ρ＝1.1 kg／m3时，V的值，首先V和ρ的函数关系．

　　生：V和ρ的反比例函数关系为：V＝990ρ ．

　　生：当ρ＝1.1kg／m3根据V＝990ρ ，得

　　V＝990ρ ＝9901.1 ＝900(m3)．

　　所以当密度ρ＝1. 1 kg／m3时二氧化碳气体的气体为900m3．

　　四、课时小结

　　活动5

　　你对本节内容有哪些认识?重点掌握利用函数关系解实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解 析式，再根据解析式解得．

　　设计意图：

　　这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结不流于形式而具有实效性．

　　师生行为：

　　学生可分小组活动，在小组内交流收获， 然后由小组代表在全班交流．

　　教师组织学生小结．

　　反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础．用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系．

　　板书设计

　　17．2 实际问题与反比例函数(三)

　　1．

　　2．用反比例函数的知识解释：在我们使 用撬棍时，为什么动 力臂越长越省力?

　　设阻力为F1，阻力臂长为l1，所以F1×l1＝k(k为常数且k＞0)．动力和动力臂分别为F，l．则根据杠杆定理，

　　Fl＝k 即F＝kl (k＞0且k为常数)．

　　由此可知F是l的反比例函数，并且当k＞0时，F随l的增大而减小．

　　活动与探究

　　学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y与另一边x之间的函数关系式如下图所示．

　　(1)绿化带面积是多少?你能写出这一函数表达式吗?

　　(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40m，那么它的宽应控制在什么范围内?

　　x(m) 10 20 30 40

　　y(m)

　　过程：点A(40，10)在反比例函数图象上说明点A的横纵坐标满足反比例函数表达式，代入可求得反比例函数k的值．

　　结果：(1)绿化带面积为10×40＝400(m2)

　　设该反比例函数的表达式为y＝kx ，

　　∵图象经过点A(40，10)把x＝40，y＝10代入，得10＝k40 ，解得，k＝400．

　　∴函数表达式为y＝400x ．

　　(2)把x＝10，20，30，40代入表达式中，求得y分别为40，20，403 ，10．从图中可以看出。若长不超过40m，则它的宽应大于等于10m。

《反比例》数学教案13

　　教学目标

　　1．使学生理解，能够初步判断两种相关联的量是否成比例，成什么比例．

　　2．通过观察、比较、归纳，提高学生综合概括推理的能力．

　　3．渗透辩证唯物主义的观点，进行“运用变化观点”的启蒙教育．

　　教学重点

　　理解正反比例的意义，掌握正反比例的变化的规律．

　　教学难点

　　理解正反比例的意义，掌握正反比例的变化的规律．

　　教学过程

　　一、导入新课

　　（一）昨天老师买了一些苹果，吃了一部分，你能想到什么？

　　（二）教师提问

　　1．你为什么马上能想到还剩多少呢？

　　2．是不是因为吃了的和剩下的是两种相关联的量？

　　教师板书：两种相关联的量

　　（三）教师谈话

　　在实际生活中两种相关的量是很多的，例如总价和单价是两种相关联的量，总价和

　　数量也是两种相关联的量．你还能举出一些例子吗？

　　二、新授教学

　　（一）成正比例的'量

　　例1．一列火车行驶的时间和所行的路程如下表：

　　1．写出路程和时间的比并计算比值．

　　（1）

　　（2） 2表示什么？180呢？比值呢？

　　（3） 这个比值表示什么意义？

　　（4） 360比5可以吗？为什么？

　　2．思考

　　（1）180千米对应的时间是多少？4小时对应的路程又是多少？

　　（2）在这一组题中上边的一列数表示什么？下边一列数表示什么？所求出的比值呢？

　　教师板书：时间、路程、速度

　　（3）速度是怎样得到的？

　　教师板书：

　　（4）路程比时间得到了速度，速度也就是比值，比值相当于除法中的什么？

　　（5）在这组题中谁与谁是两种相关联的量？它们是如何相关联的？举例说明变化规律．

　　3．小结：有什么规律？

　　教师板书：商不变

　　（二）成反比例的量

　　1．华丰机械厂加工一批机器零件，每小时加工的数量和所需的加工时间如下表．

　　2．教师提问

　　（1）计算工效和时间的乘积．

　　（2）这一组题中涉及了几种量？谁与谁是相关联的量？

　　（3）请你举例说明谁与谁是相对应的两个数？

　　（4）在这一组题中两种相关联的量是如何变化的？（举例说明）

　　3．小结：有什么规律？（板书：积不变）

　　（三）不成比例的量

　　1．出示表格

　　2．教师提问

　　（1）总吨数是怎样得到的？

　　（2）谁与谁是两种相关联的量？

　　（3）它们又是怎样变化的？变化的规律是什么？

　　运走的吨数少，剩下的吨数多；运走的吨数多，剩下的吨数少；总和不变

　　（四）结合三组题观察、讨论、总结变化规律．

　　讨论题：

　　1．这三组题每组题中谁与谁是两种相关联的量？

　　2．在变化过程当中，它们的异同点是什么？

　　共同点：都有两种相关联的量，一种量变化，另一量也随着变化

　　不同点：第一组商不变，第二组积不变，第三组和不变．

　　总结：

　　3．分别概括

　　4．强调第三组题中两种相关联的量叫做不成比例

　　5．教师提问

　　（1）两种量成正比例必须具备什么条件？

　　（2）两种量成反比例必须具备什么条件？

　　（五）字母关系式

　　三、巩固练习

　　判断下面各题是否成比例？成什么比例？

　　1．一种圆珠笔

　　（1）表中有哪两种相关联的量？

　　（2）说出几组这两种量中相对应的两个数的比

　　（3）每组等式说明了什么？

　　（4）两种相关的量是否成比例？成什么比例？

　　2．当速度一定，时间路程成什么比例？

　　当时间一定，路程和速度成什么比例？

　　当路程一定，速度和时间成什么比例？

　　3．长方形的面一定，长和宽

　　4．修一条路，已修的米数和剩下的米数．

　　四、课堂总结

　　今天这节课我们初步了解了正反比例的意义，并能运用正反比例的意义判断一些简单的问题．通过正反比例意义的对比，使我们进一步认识到，要判断两种相关联的量是成正比例关系还是反比例的关系，要抓住两种相关联的量的变化规律，这是本质．

　　五、课后作业

　　（一）判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由．

　　1．苹果的单价一定，购买苹果的数量和总价．

　　2．轮船行驶的速度一定，行驶的路程和时间．

　　3．每小时织布米数一定，织布总米数和时间．

　　4．长方形的宽一定，它的面积和长．

　　（二）判断下面每题中的两种量是不是成反比例，并说明理由．

　　1．煤的总量一定，每天的烧煤量和能够烧的天数．

　　2．种子的总量一定，每公顷的播种量和播种的公顷数．

　　3．李叔叔从家到工厂，骑自行车的速度和所需时间．

　　4．华容做12道数学题，做完的题和没有做的题．

　　六、板书设计

《反比例》数学教案14

　　教学目的：

　　1、认识反比例关系的意义，理解掌握反比例量的变化规律及其特征，能正确判断或不成反比例关系。

　　2．掌握判断成不成反比例关系的`方法，培养学生判断、推理能力。

　　教学过程：

一、新课导入：

　　学具操作：

　　按要求拿小棒（共24根）：12根、8根、6根、4根、3根、1根各可拿几次：并填表

　　每次取小棒根数12864321

　　次数234681224

　　引导学生研究：两组数量关系中两种有关联之间的关系与我们上一课所学内容相同吗？

　　二、新课展开：

　　1、出示例4

　　根据问题讨论：

　　（1）表中有哪两种量？

　　（2）这两种量是怎样变化的？

　　（3）相对应的每两个数的乘积各是多少？

　　（4）求出积后，你发现什么规律？

　　回答上述问题并作点评

　　提问：这里的240是什么数量？谁能说出这里的数量关系式？想一想这个式子表示什么？

　　2、学习例5

　　出示P43三个问题让学生研究后回答。

　　老师作小结。

　　3、概括反比例的意义。

　　（1）说明什么是反比例的量，它们之间的关系叫反比例关系。

　　追问：两种量成不成反比例的关键是什么？

　　如果用X和Y表示这两种相关联的量，用R表示他们的乘积，那上面的这种关系怎样写呢？

　　4、具体认识

　　（1）例4时有哪两种相关联的量，它们成反比例关系吗？为什么？

　　（2）例5呢？

　　（3）P46第4题。

　　5、学习例6

　　（1）怎样判断成不成反比例？

　　（2）学生尝试做例6。

　　老师评讲：

　　三、巩固练习

　　1、判断导入题中的两种理成不成反比例。

　　2、P44，练一练，第1、2题

　　3、P46第6、7题

　　四、课堂小结

　　这节课我们学习了什么内容：你懂得了什么？

　　五、课堂作业

　　六、课后作业

　　第5题剩下的题目。

《反比例》数学教案15

　　1、成正比例的量

　　教学内容：成正比例的量

　　教学目标：

　　1.使学生理解正比例的意义，会正确判断成正比例的量。

　　2.使学生了解表示成正比例的量的图像特征，并能根据图像解决有关简单问题。

　　教学重点：正比例的意义。

　　教学难点：正确判断两个量是否成正比例的关系。

　　教学过程：

　　一揭示课题

　　1．在现实生活中，我们常常遇到两种相关联的量的变化情况，其中一种量变化，另一种量也随着变化，你以举出一些这样的例子吗？

　　在教师的此导下，学生会举出一些简单的例子，如：

　　（1）班级人数多了，课桌椅的数量也变多了；人数少了，课桌椅也少了。

　　（2）送来的牛奶包数多了，牛奶的总质量也多了；包数少了，总质量也少了。

　　（3）上学时，去的速度快了，时间用少了；速度慢了，时间用多了。

　　（4）排队时，每行人数少了，行数就多了；每行人数多了。行数就少了。

　　2．这种变化的量有什么规律？存在什么关系呢？今天，我们首先来学习成正比例的量。板书：成正比例的量

　　二探索新知

　　1．教学例1

　　（1）出示例题情境图。

　　问：你看到了什么？

　　生：杯子是相同的。杯中水的高度不同，水的体积也不同，高度越高体积越大；高度越低，体积越小。

　　（2）出示表格。

　　高度/㎝24681012

　　体积/㎝350100150200250300

　　底面积/㎝2

　　问：你有什么发现？

　　学生不难发现：杯子的底面积不变，是25㎝2。

　　板书：

　　教师：体积与高度的比值一定。

　　（2）说明正比例的意义。

　　①在这一基础上，教师明确说明正比例的意义。

　　因为杯子的底面积一定，所以水的体积随着高度的变化而变化。水的高度增加，体积也相应增加，水的高度降低，体积也相应减少，而且水的体积和高度的比值一定。

　　板书出示：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种子量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种理就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

　　②学生读一读，说一说你是怎么理解正比例关系的。

　　要求学生把握三个要素：

　　第一，两种相关联的量；

　　第二，其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少。

　　第三，两个量的比值一定。

　　（3）用字母表示。

　　如果用字母X和Y表示两种相关联的量，用K表示它们的比值（一定），比例关系可以用正的式子表示：

　　（4）想一想：

　　师：生活中还有哪些成正比例的量？

　　学生举例说明。如：

　　长方形的宽一定，面积和长成正比例。

　　每袋牛奶质量一定，牛奶袋数和总质量成正比例。

　　衣服的单价一不定期，购买衣服的数量和应付钱数成正比例。

　　地砖的面积一定，教室地板面积和地砖块数成正比例。

　　2．教学例2。

　　（1）出示表格（见书）

　　（2）依据下表中的数据描点。（见书）

　　（3）从图中你发现了什么？

　　这些点都在同一条直线上。

　　（4）看图回答问题。

　　①如果杯中水的高度是7㎝，那么水的体积是多少？

　　生：175㎝3。

　　②体积是225㎝3的水，杯里水面高度是多少？

　　生：9㎝。

　　③杯中水的高度是14㎝，那么水的体积是多少？描出这一对应的点是否在直线上？

　　生：水的体积是350㎝3，相对应的点一定在这条直线上。

　　（5）你还能提出什么问题？有什么体会？

　　通过交流使学生了解成正比例量的图像特往。

　　3．做一做。

　　过程要求：

　　（1）读一读表中的数据，写出几组路程和时间的'比，说一说比值表示什么？

　　比值表示每小时行驶多少千米。

　　（2）表中的路程和时间成正比例吗？为什么？

　　成正比例。理由：

　　①路程随着时间的变化而变化；

　　②时间增加，路程也增加，时间减少，路程也随着减少；

　　③种程和时间的比值（速度）一定。

　　（3）在图中描出表示路程和时间的点，并连接起来。有什么发现？所描的点在一条直线上。

　　（4）行驶120KM大约要用多少时间？

　　（5）你还能提出什么问题？

　　4．课堂小结

　　说一说成正比例关系的量的变化特征。

　　三巩固练习

　　完成课文练习七第1～5题。

　　2、成反比例的量

　　教学内容：成反比例的量

　　教学目标：

　　1．经历探索两种相关联的量的变化情况过程，发现规律，理解反比例的意义。

　　2．根据反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。

　　教学重点：反比例的意义。

　　教学难点：正确判断两种量是否成反比例。

　　教学过程：

　　一导入新课

　　1．让学生说一说成正比例的两种量的变化规律。

　　回答要点：

　　（1）两种相关联的量；

　　（2）一个量增加，另一个量也相应增加；一个量减少，另一个量也相应减少；

　　（3）两个量的比值一定。

　　2．举例说明。

　　如：每袋大米质量相同，大米的袋数与总质量成正比例。

　　理由：

　　（1）每袋大米质量一定，大米的总质量随着袋数的变化而变化；

　　（2）大米的袋数增加，大米的总质量也相应增加，大米的袋数

　　减少，大米的总质量也相应减少；

　　（3）总质量与袋数的比值一定。

　　所以，大米的袋数与总质量成正比例。

　　板书：

　　3．揭示课题。

　　今天，我们一起来学习反比例。两种量是什么样的关系时，这两种量成反比例呢？

　　板书课题：成反比例的量[ 内 容 结 束 ]

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