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高中数学课本习题功能

时间:2019-12-12

   一、示范功能

  例题是连接理论知识与问题之间的桥梁,示范性强,如对解题的思路指导,解题步骤的表达,书写的格式,图例表格的绘制等均有一定的规范要求,复习时应该重视教材例题的示范作用,充分挖掘其内涵和外延,做到事半功倍的复习效果.

  例、《数学。第二册(上)》P27“例1:已知都是实数,且求证:。”

  本题课本给出了三种证法:即综合法、比较法和分析法,而每一种证法都给出了详细解答步骤,书写格式十分规范,能给学生很好的示范作用,如,用分析法证明时“要证,只需证明,即只需证明。…①由于因此①式等价于…②,将②式展开、化简,得…③因为都是实数,所以③式成立,即①式成立。原命题得证。”同时,解题思路也清晰自然,本题用了三种证法说明了证明不等式的方法是多种多样的,启示我们要根据不等式的特点灵活地选择恰当的证法,一般地说,如果能用分析法寻找出证明某个不等式的途径,那么就能用综合法证明不等式,同时,还启发我们是否能用比较法来证明。

  二、模型功能

  波利亚在《怎样解题》中说:“解题是一种实践性的技能,好比说就像游泳一样,在学游泳时,你模仿别人的做法,用手和脚的动作来保持头部位于水面之上,最后你通过操练游泳学会了游泳。在学习解题时,你必须观察和模仿别人在解题时的做法,最后你通过解题学会了解题。”课本上的有些例习题能给我们提供模型或者结论的功能,如果我们能在理解的基础上熟记相应的模型和结论的话,将会使我们提高思维的效率。

  例、《数学。第二册(下)》P67第6题:“正方体ABCD-A1B1C1D1的个顶点都在球O的球面上,球半径R与正方形的棱长有什么关系?”

  本题的解答并不困难(答案:),但如果我们稍加推广的话,如:一个正四面体的四个顶点在一个球面上,那么将其补形后的正方体也必在同一个球面上;或者,三条侧棱两两垂直且长度相等的三棱锥,可以视为内接于球O的正方体的一个“角”,补形后将会给所研究的问题带来方便;还或者是若有三个面两两垂直,则可以拓展为长方体或正方体,如此等等,因此,如果我们在理解的基础上再以此为模型,那么,将会提高我们的思维效率。

  三、联系功能

  学生在第一次学习高中数学时,是以知识点为主线索,由老师依次传授讲解的,由于后面的相关知识还没有学到,不能进行纵向联系,所以,学生学到的往往是零碎的、散乱的知识点,而在高三总复习时的主线索是知识的纵向联系与横向联系相结合,以章节为单位,将零碎的、散乱的知识点串联起来,并将它们系统化、综合化,侧重点在各个知识点之间的融会贯通,因此,我们要注意课本上例习题的前后联系作用,合理利用,提高复习效率。

  例、《数学。第二册(上)》P82“第11题:求函数的最大值和最小值。”

  一般地,如果要求函数的最大值和最小值呢?则可以利用椭圆的参数方程转化成点()与点(5,3)所连线段的斜率来处理,也可以利用正弦(或余弦)函数的有界性或△法来解,还可以将其转化为圆的参数方程来处理,因为只需将系数提出即可。这样,前后联系可以将零碎的、散乱的知识点串联起来,并将它们系统化、综合化,对这类求最值的问题有了更深刻的认识。

  四、归纳功能

  波利亚曾说过,我们需要有一种“归纳的态度,…,要求随时准备把观察结果提高为一般性的原则,并随时准备根据具体观察的结果对最高的一般性原则进行修正。”因此,课本中的例习题不仅要让学生弄懂、会做,而且还要学生注意解题方法的归纳和整理,探索它们的应用规律,使学生自觉重视加强知识间的纵向发展和横向联系,注意引导学生利用例习题不断总结每个公式、定理的主要用途,开拓解题思路,加强学习中的反思,进而在探索中培养能力,发展智力。

  例、《数学。第二册(上)》P133B组第1题:“设是椭圆()上一点,分别是点M与点的距离。求证:,,其中是离心率。

  在高三复习时,我们总是期望通过重新审视课本上典型的例习题,能从中归纳得出些什么结论或者什么规律,真正做到“温故而知新”,例如,《数学。第二册(上)》P88B组第3题:“把函数在及之间的一段图象近似地看作直线,且设,求证的近似值是”本题如果我们站在“极限”的高度来看待这个问题,将会“看”到其本质是给出了“以曲代直”求近似值的一种方法,“能根据要求对数据进行估算,并能进行近似计算”是高考“运算能力”的要求,而这种“新视野”是讲解新课时所无法体验的,因为当时还没有学习“极限”的相关知识。这种前后联系,归纳总结课本例习题的功能,带给我们的是数学“美”的享受。